在观看了法国和意大利国内联赛总共459个点球的视频后，《魔鬼经济学》作者史蒂夫和他的朋友们写了一篇关于点球的论文。 他们觉得在现实世界中检验博弈论可以让他们获得独特的视角，而点球就是现实世界中博弈论最典型的例子。

就像猜硬币一样，总是选择同一个方向显然是不明智的——只要对手知道你的模式，他们就可以使用相应的策略来击败你。 用博弈论的术语来说，就是“纯粹的策略不是最优的策略”。 总是选择相同方向的纯策略很直观，但最优策略解释起来有点麻烦。 简而言之，如果对手知道你的策略并与你对弈，而你选择某种策略比选择其他策略获得更高的利润，那么这种策略就称为最优策略。

不过，如果对方知道了你的计谋，那不是就能想办法让其立于不败之地吗？ 那么足球守门员 扑球 要领，我们来看看一种称为“混合策略”的方法：罚球球员的策略是掷骰子，然后以 1/3 的概率从三个方向中选择一个。 即使守门员知道点球是通过掷骰子来决定的，他也没有办法选择向哪个方向掷； 而无论他如何选择，最终都有1/3的概率扑救，2/3的概率扑丢，最后的结果是点球可以得到2/3*1=2/3点。 这比点球手选择只在左侧踢球的纯粹策略要好得多：守门员知道，如果点球手选择这样的纯粹策略，他可以向各个方向击球，这无疑大大增加了概率节省。

在博弈论中，任何具有随机决策的策略都称为混合策略。 不同的概率分布对应不同的混合策略：例如点球手可以选择以2/3的概率向左踢和以1/3的概率向右踢的混合策略。 当然足球守门员 扑球 要领，在这种情况下，守门员只要选择只打左侧，就能以2/3的概率踢球。 扑向正确的方向，所以这个策略不如刚才说的混合策略。 如果考虑纯策略和混合策略，在所有零和博弈中，每个人都必须有一个最优策略，每个人都执行相应最优策略的情况称为纳什均衡。

当然，真正的点球不会那么简单。 最重要的一点是，无论你选择的方向正确还是错误，球都不能保证进不进。 根据Steve论文中的统计，球员向左踢球的进球率比向右踢球的进球率要高：如果球员向左踢球，守门员即使选择正确，也有63.6%的机会进球；如果球员向左踢球，守门员即使选择正确，仍有63.6%的机会进球；如果球员向左踢球，守门员即使选择正确，仍有63.6%的机会进球； 如果他踢到右边，则为 43.7%。 而且如果守门员选择了错误的球门足球守门员 扑球 要领，也不能保证进球。 根据点球手是向左还是向右踢球，有 5% 和 10% 的概率不得分。

如果将其应用到模型中，虽然具体数据不同，但模型的表现与上面提到的简单模型类似——守门员和点球手都有唯一的最优策略，而且这个策略是混合的战略。 然而，根据具体的目标率值，选择哪种混合策略的概率会有所不同。